디지털 논리 회로를 설계할 때, 부울 함수(Boolean Function)는 논리 연산의 핵심 개념으로 작용한다. 이러한 부울 함수를 수학적으로 표현하기 위해 다양한 방식의 논리식 변환이 사용되며, 이 과정에서 최소항, 최대항, 그리고 표준형 등의 개념이 활용된다. 본 글에서는 논리식의 회로 구성 방식과 함께, 부울 함수의 정규형, 표준형, 그리고 최소항(minterm)과 최대항(maxterm)에 대해 구체적으로 설명하고자 한다.
1. 논리식의 회로 구성
부울 함수는 AND, OR, NOT과 같은 기본 논리 게이트를 사용하여 회로로 구성될 수 있다. 예를 들어, AND-OR 논리 구조는 다음과 같은 방식으로 구현된다.
- 1단계: 변수들을 조합하여 AND 연산을 수행함으로써 곱의 항(Product Term)을 생성한다.
- 2단계: 이렇게 만들어진 여러 곱의 항을 OR 연산으로 결합하여 최종 출력을 구성한다.
이러한 구조는 흔히 "곱의 합(Sum of Product, SOP)" 형태로 불린다.
2. 부울 함수의 정규형 및 표준형
2.1 곱의 합(SOP)과 최소항(Minterm)
- 곱의 합(Sum of Product, SOP):
부울 함수를 여러 개의 곱의 항(AND로 결합된 항목들)으로 구성하고, 이를 다시 합의 항(OR)으로 묶어 표현한 형태이다.
- 최소항(Minterm):
최소항이란 모든 변수를 포함하여 AND로 결합된 항을 의미한다. 즉, 부울 함수의 각 입력 조합에 대해 출력이 1이 되는 경우를 나타내며, 각 항은 하나의 진리표 행(row)에 해당한다.
예시:- 2변수 최소항: A'B, AB, 등
- 3변수 최소항: A'B'C, AB'C, ABC, 등
- 4변수 최소항: A'B'C'D, AB'CD, 등
2.2 합의 곱(POS)과 최대항(Maxterm)
- 합의 곱(Product of Sum, POS):
부울 함수를 여러 개의 합의 항(OR로 결합된 항목들)으로 구성하고, 이를 다시 곱의 항(AND)으로 묶어 표현한 형태이다. - 최대항(Maxterm):
모든 변수를 포함하여 OR로 결합된 항을 의미한다. 이는 진리표에서 출력이 0인 경우를 표현하며, 각 항은 출력이 0인 행을 나타낸다.
예시:- 2변수 최대항: A + B, A' + B, 등
- 3변수 최대항: A + B + C', A' + B' + C, 등
- 4변수 최대항: A + B' + C + D, 등
2.3 최소항과 최대항의 관계
최소항과 최대항은 진리표 상의 출력 값에 따라 선택되며, 서로 보완적인 관계를 가진다.
- 최소항(Minterm): 출력이 1인 입력 조합을 나타냄
- 최대항(Maxterm): 출력이 0인 입력 조합을 나타냄
예를 들어, 함수의 출력이 1인 경우에 해당하는 모든 최소항을 OR 연산으로 결합하면 SOP 형태가 되며, 출력이 0인 경우에 해당하는 모든 최대항을 AND 연산으로 결합하면 POS 형태가 된다.
3. 표준형(Standard Form)
부울 함수는 기본적으로 정규형(Normal Form)에서 시작하여 표준형(Standard Form)으로 변환될 수 있다.
- 정규형(Normal Form):
모든 항이 완전하게 작성되어 있으며, 모든 변수들이 각 항에 포함되어 있다. 예를 들어, 3변수 정규형에서는 각 항마다 A, B, C가 모두 포함되어야 한다. - 표준형(Standard Form):
정규형 부울 함수를 간략화 과정을 통해 얻은 표현식이다. 이때 일부 항에는 모든 변수가 포함되지 않을 수 있다. 즉, 표준형은 불필요한 변수 생략을 통해 더욱 간단한 논리식으로 표현된 것이다.
4. 정리
| 구분 | 의미 | 예시 (3변수 기준) |
| 최소항 (Minterm) | 모든 변수가 포함된 AND 항 (출력=1) | A'B'C, AB'C, ABC 등 |
| 최대항 (Maxterm) | 모든 변수가 포함된 OR 항 (출력=0) | A + B + C', A' + B' + C 등 |
| SOP (곱의 합) | AND 항들을 OR로 결합한 표현 | A'B'C + AB'C + ABC |
| POS (합의 곱) | OR 항들을 AND로 결합한 표현 | (A + B + C')(A' + B' + C) |
| 정규형 | 모든 항에 모든 변수가 포함된 형태 | A'B'C + AB'C + ABC |
| 표준형 | 정규형을 간략화한 형태 | B'C + AC |
부울 함수의 논리식 변환은 디지털 논리 회로 설계의 기초이며, 정규형과 표준형의 이해는 복잡한 논리식을 효율적으로 처리하는 데 핵심적인 역할을 한다. 최소항과 최대항 개념을 바탕으로 한 SOP, POS 표현 방식은 디지털 시스템에서의 정확한 논리 구현에 있어 매우 중요한 도구이다.
